哥德尔的本意是要实现希尔伯特规划。他试图首先证明算术理论的一致性，然后建立分析“实数的”理论的一致性。但最终结果却刚好相反，彻底粉碎了希尔伯特的梦想。哥德尔对形式主义者方案的冲击，尽管对更富雄心和哲学冲动的希尔伯特学派是毁灭性的，但也大大推进了他们一些较少雄心的目标，证明论在元数学算术化、可计算理论和递归函数中得以具体化。
哥德尔一生在科学上取得了辉煌的成就，他证明了一阶谓词演算的完全性算术形式系统的不完全性，连续统假设和集合论公理的相对协调性等三大难题，被公认为人类历史上继亚里士多德和莱布尼兹之后最伟大的逻辑学家。他独辟蹊径的研究成果犹如智者的棒喝，断然终结了数学家追求绝对可靠的数学基础的幻想"但也使人们对无穷的认识达到了一个更高的境界。
他说：“数学不仅是不完全的，还是不可完全的。”结语我们在这里看到数学的矛盾和争论，看到反复斟酌的公理。有人疑惑到底这些公理对不对？到底是信仰还是事实，在矛盾之中，哪个是真理？这是对数学不理解了，数学的研究是从一些非常基本的假设中，应用逻辑来看能够走多远，能够得到什么有用的结论。这些假设只要是自洽的，无关对错，只关是否有用，能否在应用时被接受。
构成数学体系称为公理的假设，很多是非常基本近乎定义性的同语反复。还有一些公理被引入，是为了修补支撑已在实践中被广泛应用的数学结果和工具。被排斥的一些公理，不是因为错了，而是假设太强了，在这假设下得不到足够广泛有用的结果。数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突——危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。
把20世纪的数学同以前全部数学相比，内容要丰富得多，认识要深入得多。在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论，数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。参考文献：1.方弦,希尔伯特之梦，以及梦的破灭;2.郭龙先 黄永，数学史上的哲学绝唱--无穷观与数学基础的争论，《广西民族大学学报》2014年11月。
以历史的观点来看，集合论是如何成为数学基础的？
现代集合论起源于康托。康托用对角线法证明了实数集与自然数集不等势，从而在历史上第一次提出“无穷集合也存在不同的大小”这种观点，由此才产生出后来的公理集合论——公理集合论并非只有ZFC一种方案。现代集合论其实就是对无穷集合的研究。其实集合论、数理逻辑都是非常年轻的学科，“不可数集”这个概念大概也就一百多年的历史。
